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本书是《普林斯顿××读本》系列图书的第二本，该套书的论述风格友好、平易近人，通过作者与读者之间的互动对话和相关示例非常清晰地阐明了数学概念，提供了命题和定量逻辑方面的知识，可以使读者精通自己的数学思路。本书讲解了学习实分析的基础内容，包括基本的数学与逻辑、实数、集合、拓扑、序列等．作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程。书中还给出了丰富的示例，帮助学生巩固所学知识。

第一部分预备知识 1

第 1 章引言 2

第 2 章基础数学与逻辑 6

第 3 章集合论 15

第二部分实数 27

第 4 章上确界 28

第 5 章实数域 37

第 6 章复数与欧几里得空间 50

第三部分拓扑学 63

第 7 章双射 64

第 8 章可数性 72

第 9 章拓扑定义 85

第 10 章闭集和开集 98

第 11 章紧集 107

第 12 章海涅–博雷尔定理 118

第 13 章完备集与连通集 128

第四部分序列 139

第 14 章收敛 140

第 15 章极限与子序列 149

第 16 章柯西序列与单调

序列 159

第 17 章子序列极限 169

第 18 章特殊序列 179

第 19 章级数 187

第 20 章总结 197

致谢 200

参考文献 201

索引 203

拉菲·格林伯格（Raffi Grinberg）是一位企业家和管理顾问。他于2012年以优异的成绩从普林斯顿大学毕业，获得了数学学位。

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We’ll skip over these simple proofs, because time is money, and money can buy you a blank notebook to try writing these proofs yourself.

remember that it all comes back to the basics. Everything relies on real numbers, topology, and sequences. If you can master those topics, the rest will be a breeze! Really.

My hope is that you learned more from this book than just how to prove that a sequence converges (you did learn that, right?). You learned how to think rigorously;

you learned how to deal with infinity, in cases where your intuition wouldn’t help (for example, with countability or series). Most of all, I hope you learned that going slowly

and understanding the definitions first can make all the difference.

In the future, whenever you encounter a problem that uses a new definition, you should first try to fully internalize the definition before applying it to the problem. Write out what it means in both words and symbols, play with some basic examples, understand how it works in R or R^k , and draw pictures.

Real analysis is hard. This topic is probably your introduction to proof-based mathmatics, which makes it even harder. But I very much believe that anyone can learn anything, as long as it is expained clearly enough.

Real analysis is typically the first course in a pure math curriculum, because it introduces you to the important ideas and methodologies of pure math in the context of material you are already familiar with.

书籍介绍

本书是《普林斯顿××读本》系列图书的第二本，该套书的论述风格友好、平易近人，通过作者与读者之间的互动对话和相关示例非常清晰地阐明了数学概念，提供了命题和定量逻辑方面的知识，可以使读者精通自己的数学思路。本书讲解了学习实分析的基础内容，包括基本的数学与逻辑、实数、集合、拓扑、序列等．作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程。书中还给出了丰富的示例，帮助学生巩固所学知识。